LUYỆN BÀI TẬP – ĐỀ THI MÔN ĐHQG HÀ NỘI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC – ĐGNL ĐHQG Hà Nội – Tư duy định lượng – Phương trình đường thẳng
———————————–
Câu 1:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\;\]là:
A.\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
B. \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
C. \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + {x_0}t}\\{y = b + {y_0}t}\\{z = c + {z_0}t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
D. \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + {x_0}t}\\{y = b + {y_0}t}\\{z = c + {z_0}t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
Xem đáp án
Phương trình tham số\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 2:
Đường thẳng \[\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\] có một VTCP là:
A.\[\left( {a;b;c} \right)\]
B. \[\left( {a;b;c} \right)\]
C. \[\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\]
D. \[\left( { – {x_0}; – {y_0}; – {z_0}} \right)\]
Xem đáp án
Đường thẳng \[\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\]có một VTCP là (a;b;c).
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3:
Đường thẳng đi qua điểm \[\left( { – {x_0}; – {y_0}; – {z_0}} \right)\] và có VTCP (−a;−b;−c) có phương trình:
A.\[\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\]
B. \[\frac{{x – {x_0}}}{{ – a}} = \frac{{y – {y_0}}}{{ – b}} = \frac{{z – {z_0}}}{{ – c}}\]
C. \[\frac{{x + {x_0}}}{a} = \frac{{y + {y_0}}}{b} = \frac{{z + {z_0}}}{c}\]
D. \[\frac{{x + {x_0}}}{a} = \frac{{y + {y_0}}}{{ – b}} = \frac{{z + {z_0}}}{c}\]
Xem đáp án
Đường thẳng đi qua điểm\[\left( { – {x_0}; – {y_0}; – {z_0}} \right)\]và có VTCP \[\left( { – a; – b; – c} \right)\]có phương trình:\[\frac{{x – \left( { – {x_0}} \right)}}{{ – a}} = \frac{{y – \left( { – {y_0}} \right)}}{{ – b}} = \frac{{z – \left( { – {z_0}} \right)}}{{ – c}} \Leftrightarrow \frac{{x + {x_0}}}{a} = \frac{{y + {y_0}}}{b} = \frac{{z + {z_0}}}{c}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 4:
Cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – t}\\{y = 1 – t}\\{z = t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?
A.(−1;−1;1)
B.(−1;1;1)
C.(0;1;1)
D.(0;1;0)
Xem đáp án
Vì\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – t}\\{y = 1 – t}\\{z = t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 – t}\\{y = 1 – t}\\{z = 0 + t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)nên d đi qua điểm (0;1;0).
Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của dd nên chỉ có đáp án D đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5:
Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{z}{1}\]?
A.(0;1;2)
B.(1;0;1)
C.(2;−2;1)
D.(3;−4;1)
Xem đáp án
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:
\[\frac{{0 + 1}}{2} = \frac{{1 – 2}}{{ – 2}} \ne \frac{2}{1}\] nên A sai.
\[\frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{0 – 2}}{{ – 2}} = \frac{1}{1}\]nên B đúng.
Thay tọa độ các điểm đáp án C,D vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 6:
Cho đường thẳng \[d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\] và các điểm A(1;1;−1),B(−1;−1;1),\(C\left( {2;\frac{1}{2};0} \right)\). Chọn mệnh đề đúng:
A.A và B đều thuộc d
B.B và C đều thuộc d
C.A và C đều thuộc d
D.chỉ có A thuộc d
Xem đáp án
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 – 1}}{2} = \frac{{1 – 1}}{{ – 1}} = \frac{{ – 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d}\\{\frac{{ – 1 – 1}}{2} \ne \frac{{ – 1 – 1}}{{ – 1}} \ne \frac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d}\\{\frac{{2 – 1}}{2} = \frac{{\frac{1}{2} – 1}}{{ – 1}} = \frac{{0 + 1}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow C \in d}\end{array}\]
Do đó cả hai điểm A và C đều thuộc d.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) đi qua \[{M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\;\;\]và nhận \[\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right),\;\;{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\;\]làm một vecto chỉ phương. Hãy chọn khẳng định sai trong bốn khẳng định sau?
A.Phương trình chính tắc của \[(d):\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\]
B.Phương trình tham số của \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
C.Nếu \[k \ne 0\;\] thì \[\vec v = k.\vec u\]là một vecto chỉ phương của đường thẳng (d).
D.Phương trình chính tắc của\[(d):\frac{{x + {x_0}}}{a} = \frac{{y + {y_0}}}{b} = \frac{{z + {z_0}}}{c}\]
Xem đáp án
Phương trình chính tắc của (d) đi qua \[{M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\] và nhận\[\vec u = (a,b,c)\] làm vecto chỉ phương là \[(d):\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\]. Do đó D là đáp án sai.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz?
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
Phương trình trục\(Oz:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9:
Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục Oy?
A.M(0,0,3)
B.N(0,1,0)
C.P(−2,0,0)
D.Q(1,0,1)
Xem đáp án
Phương trình trục\(Oy:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) Do đó chỉ có điểm N(0,1,0) thuộc trục Oy
Đáp án cần chọn là: B
Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\] là:
A.\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 4t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = – 1 – 2t}\end{array}} \right.\)
B. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 4 + t}\\{y = 3 + 2t}\\{z = – 2 – t}\end{array}} \right.\)
C. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + t}\\{y = – 3 + 2t}\\{z = 2 – t}\end{array}} \right.\)
D. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 – 3t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
\[{\rm{\Delta }}:\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\] đi qua M(4;−3;2) và nhận\[\vec u = \left( {1;2; – 1} \right)\] làm VTCP nên
\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + t}\\{y = – 3 + 2t}\\{z = 2 – t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11:
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng dd đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a = \left( {4, – 6,2} \right).\]Phương trình tham số của đường thẳng d là:
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = – 3t}\\{z = – 1 + t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + 2t}\\{y = – 3t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + 4t}\\{y = – 6t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + 2t}\\{y = – 3t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
Ta có\[\vec a = \left( {4; – 6;2} \right) = 2\left( {2; – 3;1} \right)\]nên chọn\[\vec u = \left( {2; – 3;1} \right)\]là vecto chỉ phương của dd.
Phương trình đường thẳng dd đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương
\[\vec u = \left( {2; – 3;1} \right)\]là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = – 3t}\\{z = – 1 + t}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12:
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2,−3) và B(3,−1,1)?
A.\[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ – 3}} = \frac{{z – 3}}{4}\]
B. \[\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\]
C. \[\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\]
D. \[\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\]
Xem đáp án
Phương trình đường thẳng AB nhận\[\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 3;4} \right)\]là vectơ chỉ phương. Loại B, C.
Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng\[\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 13:
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với A(1;1;2),B(3;−3;0). Phương trình đường trung tuyến OI của tam giác OAB là
A.\[\frac{x}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{1}\]
B. \[\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\]
C. \[\frac{x}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{{ – 1}}\]
D. \[\frac{x}{{ – 2}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\]
Xem đáp án
Ta có I là trung điểm của AB. Suy ra I(2,−1,1).
Ta có OI nhận\[\overrightarrow {OI} = \left( {2; – 1;1} \right)\] là vectơ chỉ phương và đi qua điểm O(0,0,0) nên\[d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{1}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 14:
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(0,1,1), B(−2,3,1) và C(4,−3,1). Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo BD.
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + t}\\{y = 3 – t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – t}\\{y = – 1 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – 2t}\\{y = – 1 + 2t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC. Ta có I(2,−1,1).
Phương trình BI cũng chính là phương trình đường chéo BD.
+ Phương trình BI nhận\[\overrightarrow {BI} = (4, – 4,0)\]là vectơ chỉ phương
+ qua điểm B(−2,3,1) và cũng qua điểm I(2,−1,1).
Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là (1,1,0), đây không là vecto chỉ phương của BI.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,1,3) và đường thẳng \(d’:\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{z}{1}\). Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d′. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng d?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 1 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 + 3t}\\{y = t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 – 3t}\\{y = 2 – t}\\{z = 4 – t}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 4 + 3t}\\{y = – 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
Phương trình đường thẳng d có vecto chỉ phương là\[\vec u = (3,1,1)\]và đi qua điểm A(2,1,3) nên có phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 1 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)
+ Phương án A đúng.
+ Với t=−1 ta có B(−1,0,2) thuộc d . Do đó B đúng.
+ Với t=1 ta có C(5,2,4) thuộc d . Do đó C đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 16:
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;−3) và song song với trục OzOz là:
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = – 3}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + t}\\{z = – 3}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 3}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
Vì d//Oz nên ta có\[\overrightarrow {{u_d}} = \vec k = (0,0,1)\].Vì d qua\[A\left( {1,2, – 3} \right)\]nên d có phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = – 3 + t}\end{array}} \right.\left( * \right)\)
Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:
+ A,B, D sai vecto chỉ phương.
+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} \]Kiểm tra điểm B(1,2,3) thuộc (*) nên C đúng.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 17:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: \[{d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\;\] và \[{d_2}:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}\] là:
A.\[d:\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\]
B. \[d:\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{7} = \frac{{z – 3}}{1}\]
C. \[d:\frac{{x – 1}}{{ – 4}} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 3}}{1}\]
D. \[d:\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 3}}{1}\]
Xem đáp án
Ta có\[\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = (2,1, – 1)\] và\[\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = (3,2,2)\]
Vì d vuông góc với \[{d_1}\] và \[{d_2}\] nên có\[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; – 7;1} \right)\]
Vì dd qua A(1,2,3) nên có phương trình\[d:\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 3}}{1}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 18:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,−4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = – 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 2 + 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = 1 – 3t}\end{array}} \right.\)
Xem đáp án
H là trực tâm của\[\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\]
Ta giả sử\[H\left( {x,y,z} \right)\] ta có
\[\overrightarrow {BC} = (0, – 3, – 4)\]
\[\overrightarrow {AC} = ( – 2,0, – 4)\]
\[\overrightarrow {AH} = (x – 2,y,z)\]
\[\overrightarrow {BH} = (x,y – 3,z)\]
\[\overrightarrow {AB} = ( – 2,3,0)\]
Điều kiện\[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\]
Điều kiện\[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\]
Ta tính\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( – 12, – 8,6)\]
Điều kiện
\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow – 12(x – 2) – 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow – 6x – 4y + 3z + 12 = 0\]
Suy ra\[H(\frac{{72}}{{61}},\frac{{48}}{{61}},\frac{{ – 36}}{{61}})\]
Suy ra\[\overrightarrow {OH} = (\frac{{72}}{{61}},\frac{{48}}{{61}},\frac{{ – 36}}{{61}})\] là vecto chỉ phương của OH.
Chọn\[\vec u = (6,4, – 3)\] là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0) nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 19:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + \left( {{m^2} – 2m} \right)t}\\{y = 5 – \left( {m – 4} \right)t}\\{z = 7 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là
A.\[\frac{5}{6}\]
B. \[\frac{5}{3}\]
C. \[\frac{7}{3}\]
D. \[\frac{3}{5}\]
Xem đáp án
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm\[M\left( {2;5;7 – 2\sqrt 2 } \right)\] và nhận\[\vec u = \left( {{m^2} – 2m;4 – m;0} \right)\] làm VTCP.
Có\[\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;4 – 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow AM = \sqrt {34 – 16\sqrt 2 } \]
Để\[d\left( {A,{\rm{\Delta }}} \right) = A{H_{\min }}\] thì\[\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AM}}\] đạt GTNN hay cosα đạt GTLN.
Mà
\[\cos \alpha = \cos \left( {AM,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {{m^2} – 2m} \right) + 3\left( {4 – m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 – 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} – 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 – m} \right)}^2}} }}\]
Mà
\[\left| {\left( {{m^2} – 2m} \right) + 3\left( {4 – m} \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( {{m^2} – 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 – m} \right)}^2}} \]
\[ \Rightarrow \frac{{\left| {\left( {{m^2} – 2m} \right) + 3\left( {4 – m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 – 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} – 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 – m} \right)}^2}} }} \le \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt {34 – 16\sqrt 2 } }}\]
\[ \Rightarrow \cos \alpha \] đạt GTLN nếu
\[\frac{{{m^2} – 2m}}{1} = \frac{{4 – m}}{3} \Leftrightarrow 3{m^2} – 6m = 4 – m \Leftrightarrow 3{m^2} – 5m – 4 = 0\]
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là \(\frac{5}{3}\) .
Đáp án cần chọn là: B
Câu 20:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 4}}{1} = \frac{{z – 5}}{{ – 2}}\;\] và các điểm \[A(3 + m;4 + m;5 – 2m),\;B\left( {4 – n;5 – n;3 + 2n} \right)\] với m,n là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.\[A \notin d,\,\,B \in d\]
B. \[A \in d,\,\,B \in d\]
C. \[A \in d,\,\,B \notin d\]
D. \[A \notin d,\,\,B \notin d\]
Xem đáp án
– Thay tọa độ điểm \[A\left( {3 + m;\,\,4 + m;\,\,5 – 2m} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta có:\[\frac{{3 + m – 3}}{1} = \frac{{4 + m – 4}}{1} = \frac{{5 – 2m – 5}}{{ – 2}} \Leftrightarrow m = m = m\] (luôn đúng)\[ \Rightarrow A \in d\]
– Thay tọa độ điểm\[B\left( {4 – n;\,\,5 – n;\,\,3 + 2n} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta có:\[\frac{{4 – n – 3}}{1} = \frac{{5 – n – 4}}{1} = \frac{{3 + 2n – 5}}{{ – 2}} \Leftrightarrow 1 – n = 1 – n = 1 – n\] (luôn đúng)\[ \Rightarrow B \in d\]
Vậy\[A \in d,\,\,B \in d\]
Đáp án cần chọn là: B
====== ====
LUYỆN BÀI TẬP – ĐỀ THI MÔN ĐHQG HÀ NỘI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
————————–