LUYỆN BÀI TẬP – ĐỀ THI MÔN ĐHQG HÀ NỘI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC – ĐGNL ĐHQG Hà Nội – Tư duy định lượng – Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng
———————————–
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x – y + 3 = 0\]. Vec-tơ nào sau đây không là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) .
A.\[\vec a = (3, – 3,0)\]
B. \[\vec a = (1, – 2,3)\]
C. \[\vec a = ( – 1,1,0)\]
D. \[\vec a = (1, – 1,0)\]
Xem đáp án
Nhận thấy\[(P):x – y + 3 = 0\] nhận\[\vec n = \left( {1; – 1;0} \right)\]làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ \[\vec a = \left( {3; – 3;0} \right),\vec a = \left( { – 1;1;0} \right)\] cũng là các véc tơ pháp tuyến của (P).
Đáp án cần chọn là: B
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2,−3,4) và nhận \[\overrightarrow n = \left( { – 2,4,1} \right)\;\]làm vectơ pháp tuyến.
A.\[2x – 3y + 4z + 12 = 0\]
B. \[2x – 4y – z – 12 = 0\]
C. \[2x – 4y – z + 10 = 0\]
D. \[ – 2x + 4y + z + 11 = 0\]
Xem đáp án
Phương trình mặt phẳng qua điểm\[M\left( {2, – 3,4} \right)\]và nhận \[\vec n = ( – 2,4,1)\]làm vectơ pháp tuyến là:
\[ – 2(x – 2) + 4(y + 3) + (z – 4) = 0 \Leftrightarrow – 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x – 4y – z – 12 = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3:
Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1,3,−2) và song song với mặt phẳng \[(P):2x – y + 3z + 4 = 0\] là:
A.\[2x – y + 3z + 7 = 0\]
B. \[2x + y – 3z + 7 = 0\]
C. \[x – 3y + 2z + 7 = 0\]
D. \[2x – y + 3z – 7 = 0\]
Xem đáp án
Ta có:\[\left( P \right):2x – y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; – 1;3} \right)\]
Mặt phẳng (Q) đi qua A(1,3,−2) và nhận\[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; – 1;3} \right)\]làm VTPT nên\[\left( Q \right):2\left( {x – 1} \right) – 1\left( {y – 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 3z + 7 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4,−1,2), B(2,−3,−2). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
A.\[x + y + 2z – 1 = 0\]
B. \[2x + y + z – 1 = 0\]
C. \[x + y + 2z = 0\]
D. \[x + y + 2z + 1 = 0\]
Xem đáp án
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và nhận\[\overrightarrow {AB} \] làm vectơ pháp tuyến.
Có I(3,−2,0) và \[\overrightarrow {AB} = ( – 2, – 2, – 4)\]. Chọn\[\vec n = (1,1,2)\]là vectơ pháp tuyến ta có phương trình\[(x – 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z – 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1,−3,2),B(1,0,1),C(2,3,0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) .
A.\[ – x – 3y = 0\]
B. \[3x + y + 3z – 6 = 0\]
C. \[15x – y – 3z – 12 = 0\]
D. \[15x – y – 3z – 12 = 0\]
Xem đáp án
Phương trình mặt phẳng (ABC) qua B(1,0,1) và nhận\[\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\] là vectơ pháp tuyến.
Ta có\[\overrightarrow {AB} = (0,3, – 1)\]và\[\overrightarrow {AC} = (1,6, – 2)\]. Suy ra\[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, – 1, – 3} \right)\]
Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,0,0),B(0,1,0) và C(0,0,1) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A,B,C là:
A.\[x + y + z = 0\]
b. \[2x + y + z – 2 = 0\]
C. \[x + 2y + z – 2 = 0\]
D. \[x + y + z – 1 = 0\]
Xem đáp án
Ta sử dụng phương trình đoạn chắn\[\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z – 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;0;−2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) cho trước với \[\left( Q \right):x + 2y – 3z + 1 = 0\;\]và \[\left( R \right):2x – 3y + z + 1 = 0\;\].
A.\[2x + 4y + z = 0\]
B. \[x + 2y – z – 3 = 0\]
C. \[x + y + z + 1 = 0\]
D. \[x + y + z – 1 = 0\]
Xem đáp án
Có\[\overrightarrow {{n_Q}} = (1,2, – 3)\]và\[\overrightarrow {{n_R}} = (2, – 3,1)\].Suy ra\[\vec n = ( – 7, – 7, – 7)\].Chọn\[{\vec n^\prime } = (1,1,1)\]làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình (P) là
\[(x – 1) + (y – 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0\]
Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:
Bước 1: Nhập các vecto
MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.
MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.
Bước 2: Tính tích có hướng
Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”
Đáp án cần chọn là: C
Câu 8:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + 2z + 11 = 0\;\]và \[\left( Q \right):x + 2y + 2z + 2 = 0\;\]. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
A.9
B.6
C.5
D.3
Xem đáp án
Nhận xét (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song.
Chọn A(−11,0,0) thuộc (P) . Ta có
\[d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \frac{{| – 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{3} = 3\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9:
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng \[\left( Q \right):x + y – z – 2 = 0\;\]và cách (Q) một khoảng là \(2\sqrt 3 \).
A.\[x + y – z + 4 = 0\;\] hoặc \[x + y – z – 8 = 0\;\].
B.\[x + y – z – 4 = 0\;\] hoặc \[x + y – z + 8 = 0\;.\]
C.\[x + y – z + 4 = 0\;\] hoặc \[x + y – z + 8 = 0\;\].
D.\[x + y – z – 4 = 0\;\] hoặc \[x + y – z – 8 = 0\;\].
Xem đáp án
Vì (P) song song với (Q) nên\[\left( P \right):x + y – z + c = 0\]
Chọn A(2,0,0) thuộc (Q) ta có
\[d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow |2 + c| = 6\]
Suy ra c=4 hoặc c=−8.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 10:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):3x – my – z + 7 = 0,\left( Q \right):6x + 5y – 2z – 4 = 0.\] Hai mặt phẳng (P và (Q) song song với nhau khi m bằng
A.\[m = 4\]
B. \[m = – \frac{5}{2}\]
C. \[m = – 30\]
D. \[m = \frac{5}{2}\]
Xem đáp án
Yêu cầu bài toán tương đương với \[\frac{3}{6} = \frac{{ – m}}{5} = \frac{{ – 1}}{{ – 2}} \ne \frac{7}{{ – 4}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{ – m}}{5} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):mx + y – 2z – 2 = 0\;\]và \[\left( Q \right):x – 3y + mz + 5 = 0\]. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau.
A.m=−2
B.m=3
C.m=−3
D.m=2
Xem đáp án
(P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi\[\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow m.1 + 1.( – 3) + ( – 2).m = 0 \Leftrightarrow – m – 3 = 0 \Leftrightarrow m = – 3\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 12:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz – 27 = 0\;\]qua hai điểm A(3,2,1),B(−3,5,2) và vuông góc với mặt phẳng \[\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\;\]. Tính tổng \[S = a + b + c.\]
A.S=−2
B.S=2
C.S=−4
D.S=−12
Xem đáp án
A,B thuộc (P) nên ta có hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c – 27 = 0}\\{ – 3a + 5b + 2c – 27 = 0}\end{array}} \right.\)
(P) vuông góc với (Q) nên ta có điều kiện\[3a + b + c = 0\]
Giải hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c – 27 = 0}\\{ – 3a + 5b + 2c – 27 = 0}\\{3a + b + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 27}\\{c = – 45}\end{array}} \right.\)
Suy ra S=−12.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 13:
Trong hệ trục toạ độ không gian Oxyz, cho \[A\left( {1,0,0} \right),B\left( {0,b,0} \right),C\left( {0,0,c} \right),\] biết b,c>0, phương trình mặt phẳng \[\left( P \right):y – z + 1 = 0\;\]. Tính \[M = c + b\] biết \[\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right),\;d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}\]
A.2
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \[\frac{5}{2}\]
D. 1
Xem đáp án
Theo giả thiết\[(ABC) \bot (P)\] nên ta có\[0.bc + 1.c – 1.b = 0 \Leftrightarrow c – b = 0 \Leftrightarrow b = c\]
Với giả thiết\[d\left( {O,(ABC)} \right) = \frac{1}{3}\] ta có\[\frac{{| – bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{3}\]
Vì b,c>0 nên có
\[\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\]
Thay\[b = c > 0\] vào ta được \[2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\] suy ra\[c = \frac{1}{2}\]
Vậy\[M = b + c = 1\]Đáp án cần chọn là: D
Câu 14:
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \[x + 3y – 2z + 1 = 0\;\] và mặt phẳng (Q) có phương trình \[x + y + 2z – 1 = 0\]. Trong các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng (Q) , xác định mặt phẳng tạo với (P) góc có số đo lớn nhất.
A.Mặt phẳng (Oxy)
B.Mặt phẳng (Oyz)
C.Mặt phẳng (Oxz)
D.Mặt phẳng (Q)
Xem đáp án
(P) có \[\overrightarrow {{n_P}} = (1,3, – 2),\left( Q \right)\] có\[\overrightarrow {{n_Q}} = (1,1,2)\] mặt phẳng (Oxy) có\[\overrightarrow {{n_1}} = (0,0,1)\] mặt phẳng (Oxz) có\[\overrightarrow {{n_2}} = (0,1,0)\] mặt phẳng (Oyz) có \[\overrightarrow {{n_3}} = (1,0,0)\]
Có\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\](1)
Có\[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_1}} |}} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\](2)
Có \[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \frac{3}{{\sqrt {14} }}\](3)
Có \[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\](4)
Trong\[[0;{90^0}]\] góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.
Do đó góc giữa (P) và (Q) lớn nhất.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 15:
Cho điểm A(1,2,−1) và điểm B(2,−1,3). Kí hiệu (S) là quỹ tích các điểm M(x,y,z) sao cho\[M{A^2} – M{B^2} = 2\]. Tìm khẳng định đúng.
A.(S) là mặt phẳng có phương trình \[x – 3y + 4z – 5 = 0\].
B.(S) là mặt phẳng có phương trình \[x – 3y + 4z – 2 = 0\].
C.(S) là mặt phẳng có phương trình \[x – 3y + 4z + 4 = 0\].
D.(S) là mặt phẳng có phương trình \[x – 3y + 4z – 3 = 0\].
Xem đáp án
Ta có\[\overrightarrow {MA} = (1 – x,2 – y, – 1 – z)\] và\[\overrightarrow {MB} = (2 – x, – 1 – y,3 – z)\]
Theo giả thiết\[M{A^2} – M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}\] nên ta có
\[{(1 – x)^2} + {(2 – y)^2} + {( – 1 – z)^2} = 2 + {(2 – x)^2} + {( – 1 – y)^2} + {(3 – z)^2}\]
\[ \Leftrightarrow – 2x – 4y + 2z + 6 = – 4x + 2y – 6z + 16\]
\[ \Leftrightarrow 2x – 6y + 8z – 10 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x – 3y + 4z – 5 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 16:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình \[x + 2y – 2z + 1 = 0\;\] và \[x – 2y + 2z – 1 = 0\]. Gọi (S) là quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Tìm khẳng định đúng.
A.(S) là mặt phẳng có phương trình x=0.
B.(S) là mặt phẳng có phương trình \[2y – 2z + 1 = 0\].
C.(S) là đường thẳng xác định bởi giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x=0 và \[2y – 2z + 1 = 0.\]
D.(S) là hai mặt phẳng có phương trình x=0x=0 và \[2y – 2z + 1 = 0.\]
Xem đáp án
Giả sử M(x,y,z) là điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có
\(\frac{{|x + 2y – 2z + 1|}}{3} = \frac{{|x – 2y + 2z – 1|}}{3}\)
\[ \Leftrightarrow |x + 2y – 2z + 1| = |x – 2y + 2z – 1|\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y – 2z + 1 = x – 2y + 2z – 1}\\{x + 2y – 2z + 1 = – (x – 2y + 2z – 1)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y – 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y – 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 17:
Với mỗi giá trị của tham số m, xét mặt phẳng (Pm) xác định bởi phương trình \[mx + m\left( {m + 1} \right)y + {\left( {m – 1} \right)^2}z – 1 = 0\]. Tìm tọa độ của điểm thuộc mọi mặt phẳng (Pm).
A. (1,−2,1)
B.(0,1,1)
C.(3,−1,1)
D.Không có điểm như vậy.
Xem đáp án
Giả sử\[M({x_0},{y_0},{z_0})\] là điểm thuộc\[({P_m})\] ta có
\[m{x_0} + m(m + 1){y_0} + (m – 1)2{z_0} – 1 = 0,\forall m\]
\[ \Leftrightarrow m{x_0} + m2{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} – 2m{z_0} + {z_0} – 1 = 0,\forall m\]
\[ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} – 2{z_0})m + {z_0} – 1 = 0,\forall m\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} + {z_0} = 0}\\{{x_0} + {y_0} – 2{z_0} = 0}\\{{z_0} – 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_0} = 1}\\{{y_0} = – 1}\\{{x_0} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, – 1,1)\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 18:
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;4;1) và giao tuyến của hai mặt phẳng \[(Q):19x – 6y – 4z + 27 = 0\;\]và \[(R):42x – 8y + 3z + 11 = 0\;\]là:
A.\[3x + 2y + 6z – 23 = 0\]
B. \[3x – 2y + 6z – 23 = 0\]
C. \[3x + 2y + 6z + 23 = 0\]
D. \[3x + 2y + 6z – 12 = 0\]
Xem đáp án
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q),(R) nên có phương trình dạng
\[m\left( {19x – 6y – 4z + 27} \right) + n\left( {42x – 8y + 3z + 11} \right) = 0\] với \[{m^2} + {n^2} > 0.\]
Do (P) đi qua M(3;4;1) nên\[56m + 108n = 0 \Rightarrow \frac{m}{n} = – \frac{{27}}{{14}}.\]
Chọn\[m = 27,n = – 14\]thì:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right):27.\left( {19x – 6y – 4z + 27} \right) – 14.\left( {42x – 8y + 3z + 11} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow – 75x – 50y – 150z + 575 = 0}\\{ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z – 23 = 0}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 19:
Cho hai điểm M(1;−2;−4),M′(5;−4;2). Biết M′ là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Khi đó, phương trình (P) là:
A.\[2x – y + 3z + 20 = 0\]
B. \[2x – y + 3z + 12 = 0\]
C. \[2x – y + 3z – 20 = 0\]
D.\[2y + y – 3z + 20 = 0\]
Xem đáp án
Ta có:\[\overrightarrow {MM’} = \left( {4; – 2;6} \right) \Rightarrow \vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {MM’} = \left( {2; – 1;3} \right)\]
Mặt phẳng (P) đi qua M′ và nhận\[\vec n = \left( {2; – 1;3} \right)\]làm VTPT nên có phương trình:
\[2\left( {x – 5} \right) – 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 3z – 20 = 0\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 20:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x′Ox,y′Oy,z′Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho \[OA = OB = OC \ne 0\]?
A.3.
B.1.
C.4.
D.8.
Xem đáp án
Gọi\[A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\] là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]
\[M \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\]
Lại có \[OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\]
Suy ra\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = c}\\{a = – b = c}\end{array}} \right.\) và\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = – c}\\{a = – b = – c}\end{array}} \right.\) mà\[a = b = – \,c\] không thỏa mãn điều kiện (1).
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 21:
Cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\;\]đi qua hai điểm M(4;0;0) và N(0;0;3) sao cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\;\]tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]
A.1
B.\[\frac{3}{2}\]
C. \[\frac{2}{{\sqrt 3 }}\]
D. 2
Xem đáp án
Gọi\[\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\]là 1 VTPT của (α)(α).
Ta có\[\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} = \left( {1;0;0} \right)\]nên góc giữa\[\left( \alpha \right)\]và (Oyz) bằng\({60^ \circ }\)
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \cos {{60}^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {a.1 + b.0 + c.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}}\end{array}\]
\[\left( \alpha \right)\]đi qua M(4;0;0) và nhận\[\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\]làm VTPT nên (α) có phương trình tổng quát là:
\[a\left( {x – 4} \right) + b\left( {y – 0} \right) + c\left( {z – 0} \right) = 0\]
Suy ra khoảng cách từ O đến \[\left( \alpha \right)\]là:
\[d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {a.0 + b.0 + c.0 – 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\frac{1}{2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 22:
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC′) bằng:
A.\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
C. 0
D. \[\frac{1}{2}\]
Xem đáp án
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:
\[A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),A’\left( {0;0;1} \right),C’\left( {1;1;1} \right)\]
Ta có:\[\overrightarrow {A’B} = \left( {1;0; – 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A’B} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left( {A’BC} \right)\] có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;1} \right)\]
\[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC’} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC’} } \right] = \left( {0; – 1;1} \right) \Rightarrow \left( {ABC’} \right)\]có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0; – 1;1} \right)\]
Gọi αα là góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC′) ta có:
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.0 + 0.\left( { – 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng \[4x – 4y + 2z – 7 = 0\;\]và \[2x – 2y + z + 4 = 0\;\]chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là:
A.\[V = \frac{{125}}{8}\]
B. \[V = \frac{{81\sqrt 3 }}{8}\]
C. \[V = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\]
D. \[V = \frac{{27}}{8}\]
Xem đáp án
Ta có:\[\left( P \right):\,\,\,4x – 4y + 2z – 7 = 0\] có VTPT là:\[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; – 4;\,\,2} \right) = 2\left( {2; – 2;\,\,1} \right)\]
\[\left( Q \right):\,\,\,2x – 2y + z + 4 = 0\]có VTPT là:\[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; – 2;\,\,1} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\]
Lấy điểm\[A\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right) \in \left( Q \right)\]
\[ \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 – 4.2 + 2.0 – 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\]
Mà hai mặt phẳng (P),(Q) chứa hai mặt của hình lập phương đã cho
⇒ Độ dài cạnh của hình lập phương là \[d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = \frac{5}{2}.\]
\[ \Rightarrow V = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^3} = \frac{{125}}{8}.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 24:
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z – 1 = 0,\;\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\;\]và \[\left( R \right): – x + 2y + nz = 0\]. Tính tổng \[m + 2n\], biết \[\left( P \right) \bot \left( R \right)\;\]và \[\left( P \right)//\left( Q \right)\]
A. -6
B. 1
C. 0
D. 6
Xem đáp án
Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)
\( + )(P):x + y + z – 1 = 0\)có VTPT\[\vec a = (1;1;1)\]
\( + )(Q):2x + my + 2z + 3 = 0\) có VTPT\[\vec b = (2;m;2)\]
\( + )(R): – x + 2y + nz = 0\)có VTPT\[\vec c = ( – 1;2;n)\]
Bước 2: Tính m+2n
\[(P) \bot (R) \Leftrightarrow \vec d \cdot \vec c = 0 \Leftrightarrow n = – 1\]
\[(P)//(Q) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2\]
Vây\[m + 2n = 2 + 2( – 1) = 0\]
====== ====
LUYỆN BÀI TẬP – ĐỀ THI MÔN ĐHQG HÀ NỘI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
————————–